Question

设A、B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）．
（1）求证：+与-垂直；
（2）若单位圆交x轴正半轴于C点，且∠COA=，∠COB=θ，θ∈（-，），•=，求cosθ．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证+与-垂直，只需证明（+）•（-）=0即可；
（2）根据•=可求出cos（θ-），然后根据cosθ=cos[（θ-）+]，利用余弦的两角和公式进行求解．
解答：（1）证明：由题意知||=||=1，
∴（+）•（-）=²-²
=||²-||²=1-1=0，
∴+与-垂直．
（2）解：=（cos，sin），=（cosθ，sinθ），
∴•=coscosθ+sinsinθ=cos（θ-），
∵•=，∴cos（θ-）=，
∵-＜θ＜，
∴-＜θ-＜0，
∴sin（θ-）=-=-，
∴cosθ=cos[（θ-）+]
=cos（θ-）cos-sin（θ-）sin
=×-（-）×=．
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及同角三角函数和两角和的余弦公式，同时考查了计算能力，属于中档题．