精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知函数.

1)若存在极值,求实数a的取值范围;

2)设,设是定义在上的函数.

)证明:上为单调递增函数(的导函数);

)讨论的零点个数.

【答案】1.(2)()证明见解析;()答案见解析

【解析】

1)求导得,按照分类,求得的解集即可得解;

2)()令,对求导,按照分类,证明恒大于0,即可得证;

)由的单调性结合,按照分类,结合即可得解.

1)求导得

时,R上单调递减,无极值;

时,单调递减,在上单调递增,

处有极小值.

综上,实数a的取值范围为

2)()证明:由题意

∵令

时,

时,令,则

所以上单调递减,在上单调递增,

所以,所以

从而有:,而

,则

综上,对都有成立,

在区间单调递增;

)由()知,在区间单调递增且

①当时,

时,单调递减;

时,单调递增,

的唯一极小值点,且

从而可知:当时,在区间有唯一零点0

②当时,有

故存在使

此时单调递减,在单调递增,

,由零点存在定理知:

在区间有唯一零点,记作

从而可知:当时,在区间上有两个零点:0

综上:①当时,在区间有唯一零点0

②当时,在区间有两个不同零点.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】直四棱柱被平面所截,所得的一部分如图所示,

1)证明:平面

2)若,平面与平面所成角的正切值为,求点到平面的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】X是有限集,t为正整数,F是包含t个子集的子集族:F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足:对S中任意两个不相等的集合AB均不成立,则称S为反链.S1为包含集合最多的反链,S2是任意反链.证明:存在S2S1的单射f,满足成立.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】庄子说:一尺之锤,日取其半,万世不竭,这句话描述的是一个数列问题,现用程序框图描述,如图所示,若输入某个正整数n后,输出的S∈(),则输入的n的值为(  )

A.7B.6C.5D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数fx)=axlnxx2ax+1aR)在定义域内有两个不同的极值点.

1)求实数a的取值范围;

2)设两个极值点分别为x1x2x1x2,证明:fx1+fx2)<2x12+x22.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知椭圆的左、右焦点,离心率为,点是椭圆上的动点,的最大面积是

1)求椭圆的方程;

2)圆E经过椭圆的左、右焦点,且与椭圆在第一象限的交点为,且三点共线,为坐标原点,直线交椭圆于两点,且

i 求直线的斜率;

ii)当的面积取到最大值时,求直线的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知椭圆C:过原点的直线与椭圆交于AB两点(点A在第一象限),过点Ax轴的垂线,垂足为点,设直线BE与椭圆的另一交点为P,连接AP得到直线l,交x轴于点M,交y轴于点N.

1)若,求直线AP的斜率;

2)记的面积分别为S1S2S3,求的的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1F2,过点F2的直线交椭圆于MN两点.已知椭圆的短轴长为,离心率为

1)求椭圆的标准方程;

2)当直线MN的斜率为时,求的值;

3)若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t0),求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分分).根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在的居民有.

满意度评分

满意度等级

不满意

基本满意

满意

非常满意

1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数;

2)定义满意度指数(满意程度的平均分)/100,若,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整?

3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在)中用分层抽样的方法抽取名居民,倾听他们的意见,并从人中抽取人担任防疫工作的监督员,求这人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率.

查看答案和解析>>

同步练习册答案