Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是： （t是参数）．
（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|= ，试求实数m值．
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+2y的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．

∵ ，∴直线l的直角坐标方程为：y=x﹣m．即x﹣y﹣m=0．

∵|AB|= ，∴圆心到直线l的距离（弦心距）d= ．

即 ，解得m=1或m=3

（2）

解：曲线C的参数方程为： （θ为参数），

∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2 sin（θ+φ）．

∴x+2y的取值范围是[2﹣2 ，2+2 ]

【解析】（1）求出圆的圆心和半径，根据垂径定理列出方程解出m；（2）求出曲线C的参数方程，将参数方程代入x+2y得到关于参数得三角函数，使用三角函数的性质得出最值．