Question

已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），动圆M过点F₂且与圆F₁相内切。
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF₁的面积为，求直线l的方程。

Answer 1

解：（1）由题意可知：|MF₂|为动圆M的半径
根据两圆相内切的性质得：4-|MF₂|=|MF₁|，即|MF₁|+|MF₂|=4
所以点M的轨迹C是以F₁、F₂为左、右焦点的椭圆，
设其方程为（a>b>0）
则2a=4，c=1，
故b²=a²-c²=3，
所以点M的轨迹C的方程为。
（2）当直线l为y轴时，=，不合题意
故直线l的斜率存在，设直线l：y=kx，A（x₁，y₁），y₁>0，则B（-x₁，-y₁），
由△ABF₁的面积为知：，所以y₁=，x₁=±，
即点A的坐标为或
所以直线l的斜率为±
故所求直线l的方程为x±2y=0。