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已知方程x2+y2+x-6y+m=0,
(1)若此方程表示的曲线是圆C,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点),求圆C的方程;  
(3)在(2)的条件下,过点(-2,4)作直线与圆C交于M,N两点,若|MN|=4,求直线MN的方程.
(1)方程x2+y2+x-6y+m=0即 (x+
1
2
)
2
+(y-3)2
37
4
-m
,∴
37
4
-m
>0,解得 m<
37
4

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).∵OP⊥OQ,故 x1•x2+y1•y2=0  ①.
x2+y2+x-6y+m=0 
x+ 2y -3=0
得 5y2-20y+12+m=0,∴y1+y2=4,y1•y2=
12+m
5

∴x1•x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1•y2
代入①可得5y1•y2-6(y1+y2)+9=0,解得m=3,满足△>0.
圆C的方程为:(x+
1
2
)
2
+(y-3)2=
25
4

(3)当直线MN垂直x轴时,直线MN的方程为:x=2,此时,直线MN与圆的焦点分别为(-2,1)和(-2,5),
满足|MN|=4.
当直线MN不垂直x轴时,设直线MN斜率为k,直线MN的方程为:y-4=k(x+2),即 kx-y+2k+4=0.
把直线MN的方程代入圆的方程化简可得( k2+1)x2+(4k2+2k+1)x+(k2+4k-5)=0.
故 x3+x4=-
4k2+2k+1 
k2+1
,x3•x4=
k2+4k-5
k2+1

由弦长公式可得 4=
k2+1 
•|x3 -x4|
=
k2+1
(x3 +x4)2-4x3 •x4

解得k=
5
12

故所求的直线MN的方程为 5x-12y=58=0.
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