Question

【题目】已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0
（1）当方程C表示圆时，求m的取值范围；
（2）若圆C与直线l1：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；
（3）在（2）条件下，若圆C上存在四点到直线l2：x﹣2y+b=0的距离均为 ，试求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0变为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m

当5﹣m＞0即m＜5时，方程C表示圆；

（2）解：圆心（1，2）到直线l的距离d= = ，

∵弦长|MN|= ，

∴（ ）2+（ ）2=5﹣m，解得m=3．

故m=3．

（3）解：圆心（1，2）到直线l的距离d= ，

假设存在直线l：x﹣2y+b=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，

必须 ＜| ﹣ |，解得4﹣ ＜b＜2+

【解析】（1）由方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0变为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．当5﹣m＞0表示圆，解出即可．（2）利用点到直线的距离可得：圆心（1，2）到直线l的距离d，利用（ ）2+（ ）2=5﹣m，即可解得m．（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d= ，假设存在直线l：x﹣2y+b=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，必须 ＜| ﹣ |，解出即可．