【题目】如图所示,正四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 .
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角,tan
设AB=A,A0=a,PO=AOtan∠PAO=,
∴∠PMO=60°.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.
.
∵a
∴
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.
取AM中点F,∵EG∥MF∴
∴EF∥MG.
∴EF⊥平面PBC.
即F为四等分点.
【解析】(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,设AB=a,则可利用tan∠PAO表示出AO和PO,进而根据求得tan∠PMO的值,则∠PMO可知.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.根据AO⊥BO,AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD,进而可推断AO⊥OE,进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角,根据勾股定理求得PD,进而求得OE,则tan∠AEO可求得.
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.先证出平面PMN和平面PBC垂直,再通过已知条件证出MG⊥平面PBC,取AM中点F,利用EG∥MF,推断出 , 可知EF∥MG.最后可推断出EF⊥平面PBC.即F为四等分点.
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题.
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【题目】已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点,点为椭圆上一动点,当轴时, .
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆存在点,使得四边形是平行四边形(点在第一象限),求直线与的斜率之积;
(3)记圆为椭圆的“关联圆”. 若,过点作椭圆的“关联圆”的两条切线,切点为、,直线的横、纵截距分别为、,求证: 为定值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形, , 在上,且∥面BDM.
(1)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值;
(2)求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.
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【题目】已知圆: (),设为圆与轴负半轴的交点,过点作圆的弦,并使弦的中点恰好落在轴上.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)延长交曲线于点,曲线在点处的切线与直线交于点,试判断以点为圆心,线段长为半径的圆与直线的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】某校高三年级一次数学考试后,为了解学生的数学学习情况,随机抽取名学生的数学成绩,制成表所示的频率分布表.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | |||
第二组 | |||
第三组 | |||
第四组 | |||
第五组 | |||
合计 |
(1)求、、的值;
(2)若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取名学生,并在这名学生中随机抽取名学生与张老师面谈,求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率
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【题目】命题:已知实数, 满足约束条件,二元一次不等式恒成立,
命题:设数列的通项公式为,若,使得.
(1)分别求出使命题, 为真时,实数的取值范围;
(2)若命题与真假相同,求实数的取值范围.
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