Question

5．已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞0时f（x）＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）试判断f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；
（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．

解答 解：（1）令x₁=0，x₂=0，
则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
令x₁=x，x₂=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
（2）函数在定义域上为增函数．
证明：当x₁＜x₂时，则x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＞0
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
可得f（x₂）＞f（x₁）
由此，得到y=f（x）是R上的增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．