Question

16．已知抛物线c：y²=2px，直线1：y=x-2与抛物C交于点A，B，与x轴交于点M．
（1）若抛物线焦点坐标为（$\frac{1}{4}$，0），求抛物线C的方程及弦AB的中点坐标；
（2）直线y=2x与抛物线C交于异于原点的点P，MP交抛物线C于另一点Q，求证：无论P如何变化，点Q始终在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）由题意知抛物线方程为y²=x，联立直线l：y=x-2，结合韦达定理和中点坐标公式，可得答案．
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=2x\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$得P（$\frac{p}{2}$，p），M（2，0），由此可知当p变化时，点Q在一条定直线y=-4上．

解答 解：（1）若抛物线焦点坐标为（$\frac{1}{4}$，0），则$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴2p=1，
故抛物线C的方程为：y²=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=x-2\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$得：y²-y-2=0，
故y₁+y₂=2，即弦AB的中点纵坐标为$\frac{1}{2}$，
代入直线l方程可得：x=$\frac{5}{2}$，
故AB的中点坐标为：（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）
证明：（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\;}=2x\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$得P（$\frac{p}{2}$，p），M（2，0）
PQ直线方程为y=$\frac{2p}{p-4}$（x-2）与抛物线y²=2px交点Q纵坐标为-4
当p变化时，点Q在一条定直线y=-4上．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．