Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=

2

AB，B1C1

∥ .

.

1

2

BC，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（Ⅱ）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D，证明AD∥平面A₁C₁C，B₁D∥平面A₁C₁C，可得平面ADB ₁∥平面A₁C₁C，从而可证AB₁∥平面A₁C₁C；         
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面A₁C₁C的一个法向量

m

=(1，-1，1)，

CB

=（-2，2，0），利用向量的夹角公式，即可求得BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取BC中点D，连接AD，B₁D，C₁D．

因为B1C1

∥ .

.

1

2

BC，所以B₁C₁DB是平行四边形，
所以C1D

∥ .

.

B1B．
又A1A

∥ .

.

B1B，∴A1A

∥ .

.

C1D，
所以A₁ADC₁是平行四边形
所以A₁C₁∥AD，所以AD∥平面A₁C₁C；
同理，B₁D∥平面A₁C₁C；
又因为B₁D∩AD=D，所以平面ADB ₁∥平面A₁C₁C；
因为AB₁?平面ADB ₁，
所以AB₁∥平面A₁C₁C；         …（6分）
（Ⅱ）解：因为AB=AC，BC=

2

AB，所以AB²+AC²=BC²，所以AB⊥AC
∵二面角A₁-AB-C是直二面角，且四边形AA₁B₁B是正方形
∴AA₁⊥平面ABC，
建立如图所示的坐标系，

设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A₁（0，0，2），C（2，0，0），C₁（1，1，2）
∴

A1C1

=(1，1，0)，

A1C

=（2，0，-2）
设平面A₁C₁C的一个法向量为

m

=(x，y，1)
由

A1C1 • m =0 A1C • m =0

，可得

x+y=0 2x-2z=0

，∴可取

m

=(1，-1，1)
∵

CB

=（-2，2，0），∴cos＜

m

，

CB

＞=

m • CB

| m || CB |

=

-2-2

3 ×2 2

=-

6

3

∴BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查线面平行，考查面面平行，考查线面角，考查利用空间向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．