Question

3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补充画出函数f（x）的完整图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（2）已知关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可补充函数图象，数形结合可得函数f（x）的单调区间；
（2）根据函数图象，分析图象与y=m的交点情况，可得关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根时，实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵偶函数的图象关于y轴对称，
故函数图象如下图所示：

由图可得：
函数的单调递增区间为：（-1，0]，（1，+∞），
函数的单调递减区间为：（-∞，-1]，（0，1]；
（2）方程f（x）=m根的个数，等同于图象与y=m的交点个数，
由图可得方程f（x）=m有两个不等的实根，
即图象与y=m的有两个交点，
则m∈（0，+∞）∪{-1}．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．