Question

16．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，记${c_n}=（1+\frac{S_n}{2}）•{a_n}，n∈{N^*}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{b}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}+2d+{b}_{1}q=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+d+2{q}^{2}=10}\\{1+2d+2q=7}\end{array}\right.$，
消去d得2q²-q-6=0，（2q+3）（q-2）=0，
∵{b_n}是各项都为正数的等比数列，
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，b_n=2ⁿ．
（2）S_n=2ⁿ⁺¹-2，…（7分）
c_n=a_n•（$\frac{Sn}{2}$+1）=n•2ⁿ，
设T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相减，可得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．