Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设D为BC的中点，连结AD，DP，证明平面PBC⊥平面ABC，只需证明PD⊥平面ABC，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）PD⊥平面ABC，所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$，即可求出三棱锥P-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：设D为BC的中点，连结AD，DP．
因为AD⊥AC，所以DA=DB=DC．
因为PA=PB=PC，所以△PAD≌△PBD≌△PCD，
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，
即PD⊥平面ABC 
因为PD?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）PD⊥平面ABC
所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\sqrt{9-4}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直，考查三棱锥P-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的判定定理是关键．