Question

如图，多面体中，四边形是边长为的正方形，平面垂直于平面，且，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若分别为棱和的中点，求证：∥平面；
（Ⅲ）求多面体的体积.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）先证明平面，再证明 ，再证明平面，从而证明；（Ⅱ）先作辅助线，在中找到，在直角梯形中，，所以，所以，即平面；（Ⅲ）把多面体的体积分成两部分：和.
试题解析：（Ⅰ）连结，∵是正方形，∴.
∵平面平面，，是两平面的交线，
∴平面.而平面，∴.
又∵，
∴平面.而平面，∴.          4分
（Ⅱ）作，，，是垂足.
在中，,.
在直角梯形中，.
∴,∴四边形是平行四边形，∴.
而平面，∴平面.           9分

（Ⅲ）.       13分