Question

已知双曲线的一条渐近线方程为y=

3

x，且其中一个焦点坐标为(

2 3

3

，0)
（1）求双曲线的方程．
（2）若直线y-ax-1=0与该双曲线交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？

Answer 1

分析：（1）先由双曲线的渐近线方程为y=

3

x，可假设方程为：x2-

y2

3

=λ(λ＞0)，再由焦点为(

2 3

3

，0)可得双曲线的标准方程．
（2）在方程组

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．依题意知该方程有两相异实根，且两根同号．从而可建立不等关系，故可解．

解答：解：（1）由题意知 C=

2 3

3

且焦点在x轴上，
又∵双曲线的一条渐近线方程为y=

3

x，
不妨令双曲线方程为：x2-

y2

3

=λ(λ＞0)，
易知：a²=λb²=3λ，∴c2=4λ=

4

3

，
解得λ=

1

3

，
∴双曲线方程为：

x2

1 3

-y=1，即 3x²-y=1…（6分）
（2）由

y=ax+1 3x2-y2=1

消去y知：（3-a²）x²-2ax-2=0，
依题意知该方程有两相异实根，且两根同号∴

3-a2≠0 - 2a 3-a2 ＞0 △=(2a)2+8(3-a2)＞0

解得：3＜a²＜6，即  -

6

＜a＜-

3

或  

3

＜a＜

6

综上知：a∈(-

6

，-

3

)∪(

3

，

6

)…（12分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合，主要考查考查双曲线的标准方程，考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意等价转化．