【题目】已知函数(
).
(1)若曲线在点
处的切线经过点
,求
的值;
(2)若在区间
上存在极值点,判断该极值点是极大值点还是极小值点,并求
的取值范围;
(3)若当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)为极小值点.
的取值范围是
(3)
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式写出切线方程,最后代入点
坐标求
的值;(2)由题意转化为对应方程
在区间
上有解,再利用变量分离法转化为求对应函数
值域,即得
的取值范围;最后根据符号变化规律确定该极值点是极大值点还是极小值点,(3)恒成立问题,一般利用变量分离法转化为对应函数最值:
最大值,再利用导数研究函数
最大值,即得
的取值范围.
试题解析:解:(1)对求导,得
.
因此.又
,
所以,曲线在点
处的切线方程为
.
将,
代入,得
.解得
.
(2)的定义域为
.
.
设的一个极值点为
,则
,即
.
所以
.
当时,
;当
时,
.
因此在
上为减函数,在
上为增函数.
所以是
的唯一的极值点,且为极小值点.
由题设可知.
因为函数在
上为减函数,
所以,即
.
所以的取值范围是
.
(3)当时,
恒成立,则
恒成立,
即对
恒成立.
设,求导得
.
设(
),显然
在
上为减函数.
又,则当
时,
,从而
;
当时,
,从而
.
所以在
上是增函数,在
上是减函数.
所以,所以
,即
的取值范围为
.
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【题目】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直观图中, 是
的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(1)求出该几何体的体积;
(2)若是
的中点,求证:
平面
;
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程是
(
为参数).以坐标原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点,若直线
与曲线
交于
,
两点,且
,求实数
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时,可按下述方法进行:
设实系数一元二次方程……①
在复数集内的根为
,
,则方程①可变形为
,
展开得.……②
比较①②可以得到:
类比上述方法,设实系数一元次方程
(
且
)在复数集
内的根为
,
,…,
,则这
个根的积
__________.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为:
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直角坐标系下曲线与曲线
的方程;
(2)设为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最大值,并求此时点
的坐标.
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