Question

【题目】已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数 f（x）有最小值为﹣2，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得﹣3＜x＜1，∴函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，f（x）=loga（1﹣x）（x+3），

设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4．

当a＞1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．

当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．

（2）解：由题设及（1）知：

当0＜a＜1时，函数有最小值，∴loga4=﹣2，解得 ．

【解析】1、本题考查的是对数函数求定义域即真数大于零，复合函数求值域设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，可得t≤4，根据题意可得0＜t≤4．对a分情况讨论当a＞1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．
2、本题考查的是指对互化求值。