Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，△AF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：$\frac{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．转化$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$的值即为点O到直线AB的距离d，当AB的斜率不存在时，当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，利用韦达定理综上，求出$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$为定值．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ 2a+2c=6\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}\\ a=2\\ c=1\end{array}\right.$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，则$OA⊥OB，\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
所以$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$的值即为点O到直线AB的距离d．…（7分）
当AB的斜率不存在时，可设A（m，m），B（m，-m），
又A，B在椭圆C上，所以$\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{3}=1$，即${m^2}=\frac{12}{7}$．
所以点O到直线AB的距离为$d=\left|m\right|=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（8分）
当AB的斜率存在时，可设AB的方程为y=kx+t，与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$联立消y得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0，由△＞0，得3+4k²＞t²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{8kt}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{t^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+kt（{x_1}+{x_2}）+{t^2}$=$（{k^2}+1）\frac{{4{t^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-kt\frac{8kt}{{3+4{k^2}}}+{t^2}=0$，化简得7t²=12（k²+1）．…（12分）
所以点O到直线AB的距离为$d=\frac{\left|t\right|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
综上，点O到直线y=kx+t的距离为定值，且定值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
即$\frac{{\left|{\overrightarrow{OA}}\right|•\left|{\overrightarrow{OB}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{AB}}\right|}}$为定值，且定值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．