Question

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为,且各局胜负相互独立.求:

(1)打满3局比赛还未停止的概率;

(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ.

Answer 1

解:令A_k,B_k,C_k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满3局比赛还未停止的概率为

P(A₁C₂B₃)+P(B₁C₂A₃)=+=.

(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,且

P(ξ=2)=P(A₁A₂)+P(B₁B₂)=+=,

P(ξ=3)=P(A₁C₂C₃)+P(B₁C₂C₃)=+=,

P(ξ=4)=P(A₁C₂B₃B₄)+P(B₁C₂A₃A₄)=+=,

P(ξ=5)=P(A₁C₂B₃A₄A₅)+P(B₁C₂A₃B₄B₅)=+=,

P(ξ=6)=P(A₁C₂B₃A₄C₅)+P(B₁C₂A₃B₄C₅)=+=,

故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P

    从而Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=(局).