Question

【题目】已知函数.

（1）①求证：当任意取值时，的图像始终经过一个定点，并求出该定点坐标；

②若的图像在该定点处取得极值，求的值；

（2）求证：当时，函数有唯一零点.

Answer 1

【答案】（1）①见解析，定点的坐标为；②（2）见解析

【解析】

（1）①由可得，所以的图象始终经过一个定点；②对函数求导，利用函数在此定点处有极值，导函数值等于零列方程求解即可；

（2）可知已经有零点1，只需要证明函数再无其它零点即可，当时，，在时无零点；当，且时，，所以，在时也无零点.

（1）①由可得，，

所以的图像始终经过一个定点的坐标为；

②因为，

因为的图像在该定点处取得极值，所以，所以，

当时，，满足：在左右侧异号，

所以符合题意；

（2）因为，所以已经有一个零点1，

下面只需要证明函数在无其它零点了.

因为且时，，

所以在时无零点，

因为，

当，且时，，所以，

所以在时递增，所以当时，

所以在时也无零点，

所以时，有唯一零点1.