Question

9．已知函数$f（x）=ln（{x-2}）-\frac{x^2}{2a}$（a为常数，a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在x₀处取得极值，且${x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$，而f（x）≥0在[e+2，e³+2]上恒成立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（3），f′（3）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀处有极值，求出${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，得到f（x）在[e+2，e³+2]上单调，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2）
（Ⅰ）当a=1时，$f'（x）=\frac{1}{x-2}x$，f'（3）=-2.$f（3）=-\frac{9}{2}$，
所以，函数f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：
$y+\frac{9}{2}=-2（{x-3}）$，即4x+2y-3=0．…（3分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}=-\frac{{{x^2}-2x-a}}{{a（{x-2}）}}$=$-\frac{1}{{a（{x-2}）}}[{{{（{x-1}）}^2}-（{a+1}）}]$，
因为x＞2，所以x-2＞0，
①当a＜0时，（x-1）²-（a+1）=x（x-2）-a＞0在x＞2上成立，
所以f'（x）当x＞2恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上是增函数．…（5分）
②当a＞0时，$f'（x）=-\frac{1}{{a（{x-2}）}}（{x-1+\sqrt{a+1}}）（{x-1-\sqrt{a+1}}）$，
因为x＞2，
所以$x-1+\sqrt{a+1}＞0$，a（x-2）＞0，
当$x≥1+\sqrt{a+1}$时，f'（x）≤0，f（x）为减函数；
当$2≤x≤1+\sqrt{a+1}$时，f'（x）≥0，f（x）为增函数．…（7分）
综上：当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上为增函数；
当a＞0时，f（x）在$（{2，1+\sqrt{a+1}}）$上为增函数，在$（{1+\sqrt{a+1}，+∞}）$上为减函数．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀处有极值，故a＞0，且${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，
因为${x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$且e+2＞2，
所以f（x）在[e+2，e³+2]上单调．…（10分）
当[e+2，e³+2]为增区间时，f（x）≥0恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{e^3}+2＜1+\sqrt{a+1}\\ f（{e+2}）≥0\end{array}\right.⇒a＞{e^6}+2{e^3}$．
当[e+2，e³+2]为减区间时，f（x）≥0恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}e+2＞1+\sqrt{a+1}\\ f（{{e^3}+2}）≥0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＜{e^2}+2e\\ a≥\frac{{{e^6}+4{e^3}+4}}{6}\end{array}\right.$解集为空集．
综上：当a＞e⁶+2e³时满足条件．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．