Question

（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极大值；
（Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有
．

Answer 1

（Ⅰ）极大值为．（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析。

（Ⅰ）
∴的增区间为，减区间为和．极大值为．
（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为．
∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而
（Ⅲ）设
则．
∴当时，，故在上是减函数，
又当、、、是正实数时，
∴．
由的单调性有：，
即．