Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=1，且对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
（1）证明{lga_n}为等差数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=2b_n-1+a_n（n≥2），记数列{b_n}的前n项和为T_n．求T_n．
（3）在（2）的条件下，P_n=S_n+T_n．若对任意的n∈N^*都有（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ$•\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过将点（n，S_n）代入y=2^x+r可知S_n=2ⁿ+r，令n=1可知r=-1，从而S_n=2ⁿ-1、a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），进而计算可得结论；
（2）通过a_n=2^n-1可知b_n=2b_n-1+2^n-1，通过对等式两边同时除以2^n-1可知$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$+1，进而可知数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，从而b_n=n•2^n-1，
利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过S_n=2ⁿ-1、T_n=1+（n-1）•2ⁿ可知P_n=n•2ⁿ，从而$\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，不等式转化为（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ•$\frac{n}{2（n+1）}$，分n为正奇数、n为正偶数两种情况讨论即可．

解答 （1）证明：∵点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上，
∴S_n=2ⁿ+r，
又∵S₁=2+r=1，
∴r=-1，
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=S₁=1满足上式，
∴a_n=2^n-1，
∴lga_n=（n-1）lg2，
∴数列{lga_n}为等差数列；
（2）解：∵a_n=2^n-1，
∴b_n=2b_n-1+a_n=2b_n-1+2^n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$+1，
又∵$\frac{{b}_{1}}{{2}^{0}}$=b₁=1，
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n-1}}$=n，
∴b_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减得：-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）•2ⁿ，；
（3）解：∵S_n=2ⁿ-1，T_n=1+（n-1）•2ⁿ，
∴P_n=S_n+T_n
=2ⁿ-1+1+（n-1）•2ⁿ
=n•2ⁿ，
∴$\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n}}{（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ$•\frac{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}$可化为：（-1）^n-1λ-1＜（-1）ⁿ•$\frac{n}{2（n+1）}$   …（*）
①当n为正奇数时，（*）式即为：λ-1＜-$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴λ＜1-$\frac{n}{2（n+1）}$，
显然$\frac{n}{2（n+1）}$大于0且随着正奇数n的增大而减小，
∵（*）式对任意正奇数n恒成立，
∴λ≤1-$\frac{1}{2（1+1）}$=$\frac{3}{4}$；
②当n为正偶数时，（*）式即为：-λ-1＜$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴λ＞-$\frac{n}{2（n+1）}$-1，
显然$\frac{n}{2（n+1）}$大于0且随着正偶数n的增大而减小，
∵（*）式对任意正偶数n恒成立，
∴λ＞-$\frac{2}{2（2+1）}$-1=-$\frac{4}{3}$；
综上所述，实数λ的取值范围是（-$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查计算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．