【题目】已知函数f(x)=ax+ (a∈R)g(x)=lnx.
(1)若对任意的实数a,函数f(x)与g(x)的图象在x=x0处的切线斜率总相等,求x0的值;
(2)若a>0,对任意x>0,不等式f(x)﹣g(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵ ,g(x)=lnx,
∴f′(x)=a+ ,g′(x)= ,
由题设知x0>0,且f′(x0)=g′(x0),即a+ = ,
∴a ﹣x0+1﹣a=0,即a( ﹣1)+(1﹣x0)=0
∵上式对任意实数a恒成立,
∴ ,解得x0=1,
故x0=1;
(2)解:∵ ,g(x)=lnx,
∴f(x)﹣g(x)≥1,即ax+ ,
令h(x)=ax+ ,则h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,
又h′(x)=a+ ﹣ = = (x>0,a>0),
①若0<a≤ ,则﹣1+ ,
∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0,
则h(x)在(0,1)单调递增,
∴h(x)<h(1)=2a﹣1≤0,
这与h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立矛盾,
故0<a≤ 不符合题意;
②若 <a<1,则0 ,
∴当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,
则h(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(1)=2a﹣1,
而h(1)=2a﹣1<1,
这与h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立矛盾,
故 <a<1不符合题意;
③若a≥1,则﹣1+ ,
∴当x∈(0,1)时,h′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,
则h(x)在(0,1)上单调递减,h(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)min=h(1)=2a﹣1≥1,即h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,
∴a≥1符合题意.
综合①②③,实数a的取值范围是[1,+∞)
【解析】(1)利用导数的几何意义,分别求出f(x)和g(x)在x=x0处的切线的斜率,则有f′(x0)=g′(x0)对任意实数a总成立,从而列出关于x0的方程,求解即可得答案;(2)将不等式f(x)﹣g(x)≥1等价表示为ax+ ,令h(x)=ax+ ,求出导函数,利用导函数的正负,确定函数h(x)的单调性,判断出h(x)的取值范围,从而得到实数a的取值范围.
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【题目】解答题
(1)已知全集U=R,集合A={x|x<﹣4,或x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2},求A∩B、(UA)∪(UB);
(2)求值:若x>0,求 .
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【题目】设f(x)=x3+ax2+bx+1的导函数f′(x)满足f′(x)=2a,f′(2)=﹣b,
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)ex , 求函数g(x)的单调区间.
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【题目】已知函数f(x)=
(1)当x≤0时,解不等式f(x)≥﹣1;
(2)写出该函数的单调区间;
(3)若函数g(x)=f(x)﹣m恰有3个不同零点,求实数m的取值范围.
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【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
0 | |||||
0 | 5 | 0 |
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解
析式;
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到的图
象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值.
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【题目】已知p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切 恒成立;q:函数f(x)=-(5-2a)x在R上是减函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围( )。
A.
B.B、
C.C、
D.a≥-2
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【题目】已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|a<x<a+5}.
(1)求A∪B,(RA)∩B;
(2)若CB,求a的取值范围.
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