Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=（

1

2

）^b_n，设c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，当n=1时，得a₁=

1

2

；当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由

a

2 n

=2-bn=22n-4，知b_n=4-2n，故Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，…（1分）
当n=1时，2a₁=a₁+

1

2

，解得a₁=

1

2

，
当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（3分）
整理得：

an

an-1

=2…（4分）
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
∴an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2．…（5分）
（Ⅱ）

a

2 n

=2-bn=22n-4
∴b_n=4-2n，…（6分）
∴Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

…①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

…②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

…（9分）

=4-8• 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1

=

4n

2n

．…（11分）
∴Tn=

8n

2n

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和错位相减法的合理运用．