Question

已知离心率为

1

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分别是直线x=

a2

c

上的两上动点，且

F1M

•

F2N

=0，|

MN

|的最小值为2

15

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过定点P（m，0）的直线交椭圆于B、E两点，A为B关于x轴的对称点（A、P、B不共线），问：直线AE是否会经过x轴上一定点，并求AE过椭圆焦点时m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由e=

1

2

得a=2c，得

a2

c

=4c，利用

F1M

•

F2N

=0求出点M、N的坐标与c之间的关系，再利用两点间的距离公式求出|MN|的表达式，进而利用其最小值求出椭圆方程；
（Ⅱ）先把直线PB方程与椭圆方程联立，求出B、E两点坐标之间的等式并表示出直线AE的方程，令y=0得x，看此时求出的x的值是否为定值即可，再利用AE过椭圆焦点即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）由e=

1

2

得a=2c，于是

a2

c

=4c，
设M（4c，y₁），N（4c，y₂），
因为

F1M

•

F2N

=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，
∴|

MN

|=

(y1-y2) 2

=

y12+y22-2y1y2

=

y12+y22+2|y1y2|

≥

4|y1y2|

=

60c2

，
∴

60c2

=2

15

?c=1，a=2，b=

3

．
椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设PB方程为y=k（x-m），代入

x2

4

+

y2

3

=1
得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则A（x₁，-y₁），
直线AE的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），令y=0得x=

y2x1+x2y1

y1+y2

，
又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=

2x1x2-m(x1+x2)

x1+x2-2m

，
而x₁+x₂=

8k2m

4k2+3

，x1x2=

4m2k2-12

4 k2+3

代入得x=

4

m

，
所以AE过轴上定点（

4

m

，0），
要使AE过椭圆焦点则

4

m

=±1．
所以m=±4．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及平面向量，两点间的距离公式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识．