Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M （1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）在x轴上是否存在一点P （m，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证明

OA

⊥

OB

，由平面向量数量积的性质，我们易得，即为证明

OA

•

OB

=0，我们可以联立直线与抛物线的方程，利用设而不求的方法，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）不难得到答案．
（2）由（1）的结论，我们易得，当P（4，0）是满足要求，但为了得到结论我们还要对经过该点的直线进行分类讨论，及严谨的论证，然后才能得到结论．

解答：证明：（1）∵点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），
则M、N、C三点共线，
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x-y-4=0 y2=4x

得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

OA

⊥

OB

；
（2）由（1）的结论得，存在点（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
证明：当弦所在直线的斜率不存在时，弦的方程为x=4
此时弦长为8，弦的中点即为（4，0），故满足题目要求，
当弦所在直线的斜率存在时，设弦的方程为x=ky+4，
代入抛物线方程y²=4x得：y²-4ky-16=0
∴y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-16
k_OA•k_OB=

y1

y 2 1 4

•

y2

y 2 2 4

=

16

y1•y2

=-1
∴

OA

⊥

OB

，故以AB为直径的圆都过原点．
此时满足条件的m=4

点评：若

OC

= λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1．则A、B、C三点共线，且C分AB的两段线段AC与BC的长度之比，AC：BC=μ：λ