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已知双曲线E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
(Ⅲ)在平面上是否存在定点P,使得对圆C上任意的点G有?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)利用左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,确定圆心坐标,又圆C恰好经过坐标原点O,可求圆的半径,从而可求圆C的方程;
(Ⅱ)设出G(-5,yG)代入圆C的方程求出yG,进而求出FG的方程,利用点到直线的距离公式求出C(-4,0)到FG的距离,再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而可求解;
(Ⅲ)假设存在P(s,t),G(x,y),利用两点间的距离公式化简,结合G在圆C上,即可求得结论.
解答:解:(Ⅰ)由双曲线E:,得l:x=-4,C(-4,0),F(-6,0).…(2分)
又圆C过原点,所以圆C的方程为(x+4)2+y2=16.   …(4分)
(Ⅱ)由题意,设G(-5,yG),代入(x+4)2+y2=16,得,…(5分)
所以FG的斜率为,FG的方程为.…(6分)
所以C(-4,0)到FG的距离为,…(7分)
直线FG被圆C截得的弦长为…(9分)
(Ⅲ)设P(s,t),G(x,y),则由,得
整理得3(x2+y2)+(48+2s)x+2ty+144-s2-t2=0.①…(11分)
又G(x,y)在圆C:(x+4)2+y2=16上,所以x2+y2+8x=0   ②
②代入①,得(2s+24)x+2ty+144-s2-t2=0.…(13分)
又由G(x,y)为圆C上任意一点可知,…(14分)
解得:s=-12,t=0.…(15分)
所以在平面上存在一定点P,其坐标为(-12,0).  …(16分)
点评:本题考查圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,考查弦长公式,考查恒成立问题,解题的关键是假设存在,建立等式,利用恒成立的条件.
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(1)求圆C的方程;

(2)若直线FG与直线交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;

(3)在平面上是否存在一点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

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