Question

3．汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y=ax²+bx，已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费为3000元，这这种汽车的最佳使用年限为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 设出这种汽车使用n年报废合算，表示出每年的维修费用，根据每年平均消耗费用，建立函数模型，再用基本不等式法求其最值．

解答 解：∵前x年的总维修费y满足y=ax²+bx，且第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b=1000\\ 4a+2b=3000\end{array}\right.$，
解得a=b=500；
设这种汽车使用n年报废合算，
由题意可知，每年的平均消耗费用f（n）=$\frac{50000+6000n+500{n}^{2}+500n}{n}$=$\frac{50000}{n}$+500n+6500≥2$\sqrt{\frac{50000}{n}•500n}$+6500=16500
当且仅当$\frac{50000}{n}$=500n，即n=10时，等号成立．
故这种汽车使用10年报废合算．
故选：C

点评 本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，本题解题的关键是整理出符合基本不等式的代数式