分析 (1)先求出函数f(x)的导数,问题转化为a≤-$\frac{1}{2x(x+1)}$对?x∈[1,+∞)恒成立,从而求出a的范围;
(2)问题转化为ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,设g(x)=ax2+ln(x+1)-x,(x≥0),即只需g(x)max≤0即可,通过讨论a,得到函数g(x)的单调性,从而求出g(x)的最小值,进而求出a的值.
解答 解:(1)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上为减函数,
所以f′(x)=2ax+$\frac{1}{x+1}$≤0对?x∈[1,+∞)恒成立
即a≤-$\frac{1}{2x(x+1)}$对?x∈[1,+∞)恒成立,
∴a≤-$\frac{1}{4}$.
(2)因为当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)-x≤0恒成立,
即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立,设g(x)=ax2+ln(x+1)-x,(x≥0),
只需g(x)max≤0即可
由g′(x)=2ax+$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{x[2ax+(2a-1)]}{x+1}$,
①当a=0时,g′(x)=-$\frac{x}{x+1}$,当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=0成立
②当a>0时,令g′(x)=0,因为x≥0,所以解得:x=$\frac{1}{2a}$-1,
1)当$\frac{1}{2a}$-1<0,即a>$\frac{1}{2}$时,在区间(0,+∞)上g′(x)>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
故g(x)在[0,+∞)上无最大值,不合题设.
2)当$\frac{1}{2a}$-1≥0时,即0<a≤$\frac{1}{2}$时,在区间(0,$\frac{1}{2a}$-1)上g′(x)<0;在区间($\frac{1}{2a}$-1,+∞)上g′(x)>0,
∴函数g(x)在(0,$\frac{1}{2a}$-1)上单调递减,在区间($\frac{1}{2a}$-1,+∞)单调递增,同样g(x)在[0,+∞)无最大值,不满足条件,
③当a<0时,由x≥0,故2ax+(2a-1)<0,∴g′(x)<0,故函数g(x)在[0,+∞)单调递减,故g(x)≤g(0)=0成立,
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查函数恒成立问题,考查转化思想,分类讨论,考查导数的应用,本题计算量较大,有一定难度.
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A. | $\frac{4}{5}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 4 |
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A. | ${∫}_{a}^{b}$0dx=b-a | B. | ${∫}_{a}^{b}$xdx=$\frac{1}{2}$ | ||
C. | ${∫}_{-1}^{1}$|x|dx=2${∫}_{0}^{1}$|x|dx | D. | ${∫}_{a}^{b}$(x+1)dx=${∫}_{a}^{b}$xdx |
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