Question

2．已知f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=2^x+t，f（m）＜3，则m取值范围是m＜2．

Answer 1

分析 根据奇函数的结论：f（0）=0求出t，设x＜0则-x＞0，利用奇函数的性质求出函数f（x）的解析式，利用分类讨论求出f（m）＜3时，m的取值范围．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2^x+t（t为常数），
∴f（0）=2⁰+t=0，解得t=-1，
则当x≥0时，f（x）=2^x-1，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=-2^-x+1，
又f（m）＜3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{{2}^{m}-1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-{2}^{-m}+1＜3}\end{array}\right.$，
∴m＜2．
故答案为：m＜2．

点评 本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，充要条件的判断，以及分类讨论求不等式的解集，属于中档题．