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(08年潮州市二模理)(14分)已知函数的导数满足,常数为方程的实数根.

⑴ 若函数的定义域为I,对任意,存在,使等式=成立,

 求证:方程不存在异于的实数根;

⑵ 求证:当时,总有成立;

⑶ 对任意,若满足,求证

解析:⑴.用反证法,

设方程有异于的实根,即,不妨设,则,在之间必存在一点c,

由题意使等式成立,    ……………………  2分

因为,所以必有,但这与矛盾.

因此,如若也是方程的根,则必有,即方程不存在异于的实数根.… 4分

  ⑵.令,    …………………………………… 5分

,    ………………………………… 6分

为增函数.       ……………………………… 7分

时,,即  ………………………………… 9分

⑶.不妨设为增函数,即 ……………………  10分

函数为减函数.   ……………………………  11分

  ……………………  12分

.    ………………………   14分

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⑵ 设直线AB的方程是,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.

 

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