【题目】如图, 为坐标原点,椭圆
的左右焦点分别为
,离心率为
;双曲线
的左右焦点分别为
,离心率为
,已知
,且
.
(1)求的方程;
(2)过点作
的不垂直于
轴的弦
,
为
的中点,当直线
与
交于
两点时,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析:(1)利用椭圆和双曲线之间的关系可以用
分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目
和
即可得到
之间的两个方程,联立方程消元即可求出
的值,得到双曲线和椭圆的标准方程.
(2)利用(1)求出焦点的坐标,设出弦
的直线的方程
,联立直线与椭圆消
得到关于
的一元二次方程,再利用根与系数的关系得到
两点纵坐标之间的和与积,进而得到
点的纵坐标带入AB直线即可得到
的横坐标,进而求出直线
的方程,即为直线
的方程,联立直线
的方程
得到
的取值范围和求出点
的坐标得到
的长度,利用点到直线的距离得到
到直线
的距离表达式,进而用
表示四边形的面积,利用不等式的性质和
的取值范围即可得到面积的最小值.
(1)由题可得,且
,因为
,且
,所以
且
且
,所以椭圆
方程为
,双曲线
的方程为
.
(2)由(1)可得,因为直线
不垂直于
轴,所以设直线
的方程为
,联立直线与椭圆方程可得
,则
,
,则
,因为
在直线
上,所以
,则直线
的方程为
,联立直线
与双曲线可得
,
则
,则
,设点
到直线
的距离为
,则
到直线
的距离也为
,则
,因为
在直线
的两端,所以
,
则
,又因为
在直线
上,所以
,
则四边形面积
,因为
,所以当
时,四边形
面积的最小值为
.
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【题目】已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0, ),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象( )
A.关于点( ,0)对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移 个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
D.可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,△ABD是边长为2的正三角形,PC⊥底面ABCD,AB⊥BP,BC= .
(1)求证:PA⊥BD;
(2)若PC=BC,求二面角A﹣BP﹣D的正弦值.
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【题目】某专营店经销某商品,当售价不高于10元时,每天能销售100件,当价格高于10元时,每提高1元,销量减少3件,若该专营店每日费用支出为500元,用x表示该商品定价,y表示该专营店一天的净收入(除去每日的费用支出后的收入).
(1)把y表示成x的函数;
(2)试确定该商品定价为多少元时,一天的净收入最高?并求出净收入的最大值.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 时,函数
是增函数,因为
,所以
是增函数,这种推理是合情合理.
B. 在平面中,对于三条不同的直线,
,
,若
,
,将此结论放在空间中也是如此,这种推理是演绎推理.
C. 命题:
,
的否定是
:
,
.
D. 若分类变量与
的随机变量
的观察值越小,则两个分类变量有关系的把握性越小
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【题目】已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得PM
Q;
(2)若PQ,求b的取值范围.
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【题目】如图,已知D点在⊙O直径BC的延长线上,DA切⊙O于A点,DE是∠ADB的平分线,交AC于F点,交AB于E点.
(1)求∠AEF的度数;
(2)若AB=AD,求 的值.
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【题目】如图,在直角△ABC中,AB⊥BC,D为BC边上异于B、C的一点,以AB为直径作⊙O,并分别交AC,AD于点E,F.
(1)证明:C,E,F,D四点共圆;
(2)若D为BC的中点,且AF=3,FD=1,求AE的长.
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