Question

已知函数．已知函数有两个零点，且．
（1）求的取值范围；
（2）证明随着的减小而增大；
（3）证明随着的减小而增大．

Answer 1

（1）的取值范围是；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．

试题分析：（1）先求函数的导数，再分和讨论的单调性，将“函数有两个零点”等价转化为如下条件同时成立：“1°；2°存在，满足；3°存在，满足”，解相应的不等式即可求得的取值范围；（2）由分离出参数：．利用导数讨论的单调性即可得： ，从而；类似可得．又由，得，最终证得随着的减小而增大；（3）由，，可得，，作差得．设，则，且解得，，可求得，构造函数，利用导数来证明随着的减小而增大．
（1）由，可得．下面分两种情况讨论：
（1）时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意．
（2）时，由，得．当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	0	－
	↗		↘

 
这时，的单调递增区间是；单调递减区间是A．
于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；3°存在，满足．由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且．∴的取值范围是．
（2）由，有．设，由，知在上单调递增，在上单调递减． 并且，当时，；当时，．
由已知，满足，． 由，及的单调性，可得，．对于任意的，设，，其中，其中．∵在上单调递增，故由，即，可得；类似可得．又由，得．∴随着的减小而增大．
（3）由，，可得，，故．设，则，且解得，．
∴．   ①
令，，则．令，得．当时，．因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增，因此，由①可得随着的增大而增大，而由（2），随着的减小而增大，∴随着的减小而增大．