Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．
（1）求a的值并求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x）；
（2）设h（x）=f′（x）+g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求a 值，先求导数，再结合f′（1）=1即得；欲求切线方程，只须求出其斜率的正负即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）欲求h（x）在[0，1]上的最大值与最小值，利用导数解决，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax，由f'（1）=1得3-2a=1，所以a=1；
当a=1时，f（x）=x³-x²，f（1）=0，又f'（1）=1，
所以曲线y=f（x）y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-0=1×（x-1），即g（x）=x-1；
（2）由（1）得h(x)=3x2-x-1=3(x-

1

6

)2-

13

12

，
又h（0）=-1，h（1）=1，h(

1

6

)=-

13

12

，
∴h（x）在[0，1]上有最大值1，有最小值

13

12

．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．