Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．则：
（1）二面角E-AB-C的平面角的正切值是

1

2

；
（2）二面角C-AE-B的平面角的正切值是

3

；
（3）点D₁到平面EAB的距离是

2 5

5

．

Answer 1

分析：（1）由正方体性质，AB⊥面EBC，∴AB⊥BC，AB⊥EB，∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角 
 （2）连接BD交AC于O，过点O作OF⊥AE交AE于F，连接OF，可得∠OFB是二面角C-AE-B的平面角．根据相似三角形性质求出OF后，解三角形BOF即可．
（3）由于D₁C₁∥平面ABE，即D₁到平面ABE的距离等于C₁到平面ABE的距离，利用等体积法求出C₁到平面ABE的距离即可．

解答：解（1）由正方体性质，AB⊥面EBC，∴AB⊥BC，AB⊥EB，∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角
在直角三角形ECB中，tan∠EBC=

EC

BC

=

1

2

（2）连接BD交AC于O，过点O作OF⊥AE交AE于F，连接OF
∵BO⊥平面ACE，∴AE⊥AE，∴AE⊥面OFB，AE⊥BF，∴∠OFB是二面角C-AE-B的平面角．
在直角三角形ACE中，AC=2

2

，AO=

2

，AE=3，∵OF：CE=AO：AE，∴OF=

2

3

，
在直角三角形FOB中，tan∠OFB=

OB

OF

=3．
（3）D₁C₁∥平面ABE，∴点C₁到平面EAB的距离等于点D₁到平面EAB的距离 h．
∴V _A-BCE1=V _C1-ABE   即

1

3

S△BEC₁×AB=

1

3

△ABE×h，
又S△BEC₁=

1

2

×2×1=1．S△ABE=

1

2

×AB×BE=

1

2

×2×

5

=

5

．
∴

1

3

× 1×2=

1

3

× 

5

× h，h=

2 5

5

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，（1）的关键是利用定义直接找出所求的二面角的平面角，（2）的关键是通过作垂线，确定∠OFB是二面角B-AE-C的平面角，（3）的关键是转化成C₁到平面ABE的距离．考查空间想象、转化、计算能力．