Question

关于下列命题：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cos2(

π

4

-x)是偶函数；
③函数y=4sin(2x-

π

3

)的一个对称中心是（

π

6

，0）；
④cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy
⑤cos²α（1+tan²α）=1
写出所有正确的命题的题号：

③④⑤

．

Answer 1

分析：利用三角函数的性质对①取特值排除即可；
利用诱导公式可判断②；
③令f（x）=4sin（2x-

π

3

），可求得f（

π

6

）=0，从而可对③作出正确的判断；
④利用两角和与差的余弦计算即可判断其正误；
⑤将左端展开计算即可．

解答：解：①∵x₁=

π

4

，x₂=

13π

6

均为第一象限的角，且x₁＜x₂，但tanx₁=1＞

3

3

=tanx₂，故①函数y=tanx在第一象限是增函数，是错误的；
②∵y=f（x）=cos2（

π

4

-x）=sin2x，
∴f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），
∴y=cos2（

π

4

-x）为奇函数，故②错误；
③令f（x）=4sin（2x-

π

3

），则f（

π

6

）=4sin（2×

π

6

-

π

3

）=0，
∴函数y=4sin（2x-

π

3

）的一个对称中心是（

π

6

，0），即③正确；
④∵左端cos（x+y）+cos（x-y）=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=右端，
∴cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，正确，即④正确；
⑤由于cos²α（1+tan²α）=cos²α+sin²α=1，故（5）正确．
综上所述，所有正确的命题的题号为③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的性质，考查两角和与差的余弦与基本关系式，属于中档题．