Question

若函数f(x)=

ax2+1

x+b

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

ax2+1

x+b

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，可得f（-1）=-3，由此构造方程组可得a，b的值，进而写出f（x）的表达式；
（2）根据（1）中函数解析式，求出函数的导函数，进而根据导函数的符号，判断出原函数的单调性．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax2+1

x+b

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴

a+1 1+b =3 a+1 -1+b =-3

解得a=2，b=0
∴f(x)=

2x2+1

x

（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
∵f′(x)=

2x2-1

x2

=2-

1

x2

∵x∈[1，+∞）时，

1

x2

＜1，f′（x）＞0
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．