Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；
（3）若x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）的值域是[0，1]，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的真实大于零求解即可；
（2）利用函数的奇偶性判断证明；
（3）根据函数的单调性求函数的值域

解答： 解：（1）由条件知

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函数的定义域为（-1，1）；
（2）由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称．
f（-x）=log a

1-x

1+x

=log a(

1+x

1-x

)-1=-log a

1+x

1-x

=-f（x）
所以f（x）是奇函数．
（3）f（x）=log a

1+x

1-x

=log a

x-1+2

1-x

=log a(-1-

2

x-1

)记g（x）=-1-

2

x-1

，
则g（x）=-1-

2

x-1

，[0，

1

2

]上单调递增，因此当a＞1时，f（x）在[0，

1

2

]上单调递增，
由f（

1

2

）=1得a=3；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，由f（0）=1得出矛盾，a∈∅；综上可知a=3．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性和值域问题．