Question

已知平面向量

a

=(sin(π-x))，

b

=(

3

，cosx)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g(x)=f(x-

π

6

)+1，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的单调递减区间要先确定函数f（x）的解析式，根据解析式再求单调区间．
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，不难给出函数g（x）的解析式，而两个函数图象的交点，即是求由两个解析式联立的方程组．

解答：解：（1）函数f(x)=

a

•

b

=

3

sin(π-x)+cosX=2sin(x+

π

6

)
∴函数的单调递减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]  (k∈Z)
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+1=2sinx+1
解g（x）=2，即sinx=

1

2

，x∈[0，π]得：
x=

π

6

或x=

5π

6

所以交点坐标为：(

π

6

，2)，(

5π

6

，2)

点评：本题主要的考查点是正弦函数的单调性，解题的切入点是根据平面向量的数量积运算给出函数f（x）的解析式，而（2）中求函数图象交点的坐标，则可转化为解方程的问题进行求解．