Question

甲乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

2

3

，乙队中3人答对的概率分别为

2

3

，

2

3

，

1

2

且各人正确与否相互之间没有影响．用X表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量X分布列
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得X～B（3，

2

3

），利用公式P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）即可得到分布列．
（2）由A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，可知AB表示甲对赢得3场或2场．利用相互独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答：解：（1）由题意可得X～B（3，

2

3

），P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）．
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

∴Eξ=3×

2

3

=2．
（2）由A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，可知AB表示甲对赢得3场或2场．
∴P（AB）=(

2

3

)3×(1-

2

3

)2×(1-

1

2

)+

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×[

2

3

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×2+(1-

2

3

)2×

1

2

]
=

34

243

．

点评：本题考查了二项分布列及其数学期望、相互独立事件和互斥事件的概率计算公式，属于难题．