Question

定义在R上的函数f（x）：当sinx≤cosx时，f（x）=cosx；当sinx＞cosx时，f（x）=sinx．给出以下结论：
①f（x）是周期函数     
②f（x）的最小值为-1
③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值
④当且仅当2kπ-

π

2

＜x＜(2k+1)π  (k∈Z)时，f（x）＞0
⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离是2π
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：根据题意，做出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象，分别求解函数的周期，最值及取得最值的条件分别进行验证即可．

解答：解：做出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图，取函数的最大值
观察图象可知函数以2π为周期的周期函数，故①正确
观察函数的图象可得函数的最小值为-

2

2

，故②错误
当x=2kπ，或x=2kπ+

π

2

时函数取最大值故③错误
由图象可知，当2kπ-

π

2

＜x＜(2k+1)π  (k∈Z)时，f（x）＞0，故④正确
由图象可知相邻的最低点的距离为一个周期即2π，故⑤正确
故答案为：①④⑤

点评：本题主要考查了正弦函数与余弦函数的图象，三角函数的性质的应用，考查了识别图象的能力及由图象研究函数的性质．解题的关键是要由题中的定义找出函数所对应的图象，结合图象求解函数的性质，体会数形结合思想的应用．