Question

5．已知圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.（α$为参数）．
（Ⅰ）以直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，设直线l和圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出极坐标方程；
（Ⅱ）把$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0中，可得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$，解得ρ，可得|MN|．由于圆C的半径为1，故CM⊥CN，j即可得出△CMN的面积S=$\frac{1}{2}$|CM||CN|．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，化为得（x-1）²+（y-2）²=1，
即x²+y²-2x-4y+4=0，
可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，
即圆C的极坐标方程是ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（Ⅱ）把$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0中，可得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$，
解得${ρ_1}=2\sqrt{2}，\;{ρ_2}=\sqrt{2}$，
∴$|{MN}|={ρ_1}-{ρ_2}=\sqrt{2}$
由于圆C的半径为1，故CM⊥CN，
∴△CMN的面积为$\frac{1}{2}|{CM}|•|{CN}|=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、参数方程化为普通方程、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．