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6.已知$x∈({-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}),sinx+cosx=\frac{1}{5}$,则tan2x为(  )
A.$\frac{7}{24}$B.$-\frac{7}{24}$C.$\frac{24}{7}$D.$-\frac{24}{7}$

分析 有条件利用同角三角函数的基本关系求得tanx的值,再利用二倍角公式的正切公式求得 tan2x的值.

解答 解:∵已知$x∈({-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}),sinx+cosx=\frac{1}{5}$,∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$,
∴2sinxcosx=$\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=-$\frac{24}{25}$ ①,
求得tanx=-$\frac{4}{3}$,或tanx=-$\frac{3}{4}$.
根据x的范围以及①,可得sinx<0,cosx>0,且|cosx|>|sinx|,∴tanx>-1,
∴tanx=-$\frac{3}{4}$,∴tan2x=$\frac{2tanx}{1{-tan}^{2}x}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}$=-$\frac{24}{7}$,
故选:D.

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的正切公式,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.

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