Question

8．已知椭圆$C：\frac{{x{\;}^2}}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过C的左焦点F₁且与C相交于B，D两点，求△ABD面积的最大值及相应的直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设经过左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直线方程为x=my-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程，运用韦达定理，和三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值和对应的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由b=$\sqrt{3}$，a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{6}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设经过左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0）的直线方程为x=my-$\sqrt{3}$，
代入椭圆方程可得，（2+m²）y²-2$\sqrt{3}$my-3=0，
即有y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{2+{m}^{2}}$，
则△ABD的面积为${S}_{△A{F}_{1}B}$+${S}_{△A{F}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）•$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}m}{2+{m}^{2}}）^{2}+\frac{12}{2+{m}^{2}}}$
=（6+3$\sqrt{2}$）•$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），即有$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{t}{（t+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$≤$\sqrt{\frac{1}{2+2}}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当t=1即m=0时，取得最大值，
则有△ABD的面积的最大值为3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
此时直线l的方程为x=-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．