Question

18．设函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|2x-1|-m}$．
（1）当m=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 令g（x）=|x+1|+|2x-1|并分段写出．
（1）直接由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；
（2）函数f（x）的定义域为R，即|x+1|+|2x-1|-m≥0恒成立，分离参数m后求解函数g（x）的值域得答案．

解答 解：令g（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{2-x，-1＜\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（1）当m=3时，$f（x）=\sqrt{|x+1|+|2x-1|-3}$，
由|x+1|+|2x-1|-3≥0，得$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-3x-3≥0}\end{array}}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤\frac{1}{2}\\ 2-x-3≥0\end{array}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x-3≥0}\end{array}}\right.$，
解得x≤-1，或x≥1，
故函数f（x）的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}；
（2）由题可知|x+1|+|2x-1|-m≥0恒成立，即m≤|x+1|+|2x-1|=g（x）恒成立，
由（1）知$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$，故$m≤\frac{3}{2}$．
∴$m∈（-∞，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了分段函数的应用，训练了利用分离变量法求解参数的范围，是中档题．