Question

（2013•石家庄二模）已知函数f（x）=ax-x³，对区间（0，1）上的任意x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（0，1）

B．[4．+∞）

C．（0，4]

D．（1，4]

Answer 1

分析：先确定函数f（x）在区间（0，1）上f′（x）＞1，再求导函数，利用分离参数法，即可求实数a的取值范围．

解答：解：∵对区间（0，1）上的任意x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）上f′（x）＞1
∵f（x）=ax-x³，
∴f′（x）=a-3x²，
∴a-3x²≥1在区间（0，1）上恒成立
∴a≥4
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数f（x）在区间（0，1）上f′（x）＞1是解题的关键．