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精英家教网某校高一年级共有学生320人.为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成教师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况,学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查.根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位:分钟),按照以下区间分为七组:①[0,10),②[10,20),③[20,30),④[30,40),⑤[40,50),⑥[50,60),⑦[60,70),得到频率分布直方图如图.已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟,则学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
(Ⅲ)问卷调查完成后,学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况,并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人,设第3组中学生被聘的人数是X,求X的分布列和数学期望.
分析:(Ⅰ)由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06,则n×(0.02+0.06)=4,由此能求出n.
(Ⅱ)设第i组的频率和频数分别是pi和xi,由图知p1=0.02,p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4,p5=0.12,p6=0.08,p7=0.02
则由xi=50×pi,可得x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1.由此能求出高一学生每天平均自主支配时间.(Ⅲ)第3组和第4组的频数分别是15和20,用分层抽样的方法抽取7人,则第3组应抽
15
15+20
=3
人,第4组应抽
20
15+20
=4
人.由题意知X=0,1,2,由此能求出X的分布列和期望.
解答:解:(Ⅰ)由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06
则n×(0.02+0.06)=4,解得n=50
(Ⅱ)设第i组的频率和频数分别是pi和xi,由图知p1=0.02,p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4,p5=0.12,p6=0.08,p7=0.02
则由xi=50×pi,可得x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1
则高一学生每天平均自主支配时间是:
.
t
=
5x1+15x2+25x3+35x4+45x5+55x6+65x7
50
=33.6<45

则学校需要减少作业量.
(Ⅲ)第3组和第4组的频数分别是15和20,用分层抽样的方法抽取7人,则第3组应抽
15
15+20
=3
(人),第4组应抽
20
15+20
=4
(人)
由题意知X=0,1,2,且P(X=0)=
C
2
4
C
2
7
=
2
7
P(X=1)=
C
1
4
C
1
3
C
2
7
=
4
7
P(X=2)=
C
2
3
C
2
7
=
1
7

则X的分布列是
X 0 1 2
P
2
7
4
7
1
7
E(X)=0×
2
7
+1×
4
7
+2×
1
7
=
6
7
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,解题时要认真审题,仔细读图,注意数形结合思想的合理运用.
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(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟,则学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
(Ⅲ)问卷调查完成后,学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况,并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人,设第3组中学生被聘的人数是X,求X的分布列和数学期望.

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(1)求n的值;
(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时问少于45分钟,则学校需要减少作业量,根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)。
(3)问卷调查完成后,学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7 名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况,并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人,求第3组中至少有一名学生被选聘为学情调查联系人的概率。

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