分析 (1)利用正弦定理化简已知可得:$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$,整理可得sin(C-A)=sin(B-C),利用正弦函数的图象和性质可得2C=A+B,即可解得C的值.
(2)由余弦定理可得:16=(a+b)2-3ab,又:ab≤($\frac{a+b}{2}$)2,解得$\frac{1}{4}$(a+b)2≤16,从而解得:a+b≤8.
解答 (本题满分为12分)
解:(1)∵$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$,
∴利用正弦定理可得:$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$,
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC,即:sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,
∴sin(C-A)=sin(B-C),
∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立),或C-A=-π-(B-C)(不成立),即2C=A+B,可得:C=$\frac{π}{3}$…6分
(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC,
可得:16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
又:ab≤($\frac{a+b}{2}$)2,
可得:16≥(a+b)2-3($\frac{a+b}{2}$)2,即$\frac{1}{4}$(a+b)2≤16…10分
可得:(a+b)2≤64.
解得:a+b≤8…11分
故a+b的最大值为8…12分
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,正弦函数的图象和性质,基本不等式的应用,考查了分类讨论思想、转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4-$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{7}$ | C. | $\sqrt{11}$ | D. | 7 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,1]∪[5,+∞) | B. | (-∞,1)∪[5,+∞) | C. | (1,5] | D. | [5,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,$\frac{1}{2}$+ln2) | B. | ($\frac{1}{2}$+ln2,$\frac{3}{2}$) | C. | ($\frac{3}{2}$,2) | D. | (1,$\frac{1}{2}$+ln2)∪($\frac{3}{2}$,2) |
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