【题目】在多面体中,四边形是正方形,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.
【解析】
(1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可;
(2)在平面DAE内,过D作AD的垂线DH,以点D为坐标原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用平面FAG的法向量和平面EAD的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点.
(1)∵平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,
正方形中CD⊥AD,∴CD⊥平面ADE.
(2)由(1)知平面ABCD⊥平面AED.
在平面DAE内,过D作AD的垂线DH,则DH⊥平面ABCD,
以点D为坐标原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,
,,
设,则.
设平面FAG的一个法向量,则,
,即,
令可得:,
易知平面EAD的一个法向量,
由已如得.
化简可得:,即.
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【题目】已知椭圆的左顶点为,两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M,N不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆P的方程;
(Ⅱ)当AM与MN垂直时,求AM的长;
(Ⅲ)若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q,求证:直线NQ恒过定点.
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【题目】设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方
程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,
并求出此定值.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
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【题目】已知函数.
(1)若在上单调递减,求的取值范围;
(2)若在处取得极值,判断当时,存在几条切线与直线平行,请说明理由;
(3)若有两个极值点,求证:.
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【题目】已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
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